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A la Section~\ref{sec:background-eq} nous avons introduit la notion de parité démographique (DemPar).
Dans le cas d'un classifieur binaire ($\hat{Y}$) avec attribut binaire ($S$), nous pouvons calculer à quel point le classifieur est proche d'être DemPar avec la quantité suivante :
\begin{equation*}
\text{DemParLvl} = |P(\hat{Y}=1|S=0) - P(\hat{Y}=1|S=1)|
\end{equation*}
C'est l'écart de prédiction positive entre la classe majoritaire (par exemple les blancs, les hommes, ...) et la classe minoritaire (les noirs, les femmes, ...).
\begin{propriete}
\label{prop:aia-dpl0}
Un classifieur qui satisfait la parité démographique a un DemParLvl égal à zéro.
\end{propriete}
La démonstration est triviale à partir de la Définition~\ref{def:background-eq-dp}.
DemPar est équivalente à dire que la prédiction du modèle est indépendante de l'attribut sensible.
Nous remarquons que cette définition n'est ni restreinte à des problèmes de classifications, ni à des attributs sensibles binaires, ni même à des attributs sensibles qui prennent leurs valeurs dans un ensemble fini.
Ainsi nous définissons la notion suivante:
\begin{definition}[Parité démographique généralisée]
\label{def:aia-dempargen}
Soit $(\Omega,\mathcal{T},P$) un espace probabilisé.
Soient $(E,\mathcal{E})$, $(F,\mathcal{F})$ et $(G,\mathcal{G})$ des espaces mesurables.
Soient les variables aléatoires suivantes :
\begin{itemize}
\item $X:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (E,\mathcal{E})$
\item $Y:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
\item $S:(\Omega,\mathcal{T})\rightarrow (G,\mathcal{G})$
\item $f:(E,\mathcal{E})\rightarrow (F,\mathcal{F})$
\end{itemize}
Alors $f$ satisfait la parité démographique généralisée si et seulement si
\begin{equation*}
P_{f\circ X,S} = P_{f\circ X}\otimes P_S
\end{equation*}
Dit autrement, si et seulement si le classifieur $f$ est un CCA pour prédire $S$ à partir de $X$.
\end{definition}
\begin{propriete}
Si un classifieur binaire satisfait la parité démographique généralisée alors il satisfait la parité démographique.
\end{propriete}
\begin{proof}
En gardant les objets définis dans la Définition~\ref{def:aia-dempargen}, supposons que $f$ satisfasse la parité démographique généralisée.
Alors, en notant $\hat{Y} = f\circ X$, comme $\mathcal{G} = \mathcal{F}=\mathcal{P}(\{0,1\})$, nous avons bien
\begin{equation*}
P(\hat{Y}=1\mid S=0) = P(\hat{Y}=1\mid S=1)
\end{equation*}
\end{proof}
Ainsi grâce à la Propriété~\ref{prop:aia-dpl0} nous savons que si un classifieur satisfait la parité démographique généralisée, alors il a un DemParLvl égale à 0.
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