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\begin{frame}
\frametitle{Convergence en entraînement}
\begin{definition}[$\varepsilon^0$-Convergence en entraînement.]
\begin{equation*}
\forall\varepsilon>\varepsilon^0~\exists\delta>0~\forall f\left(
C_{X_s,Y_s}(f)<\delta \implies
d\left(P_{f\circ X,S}, P_{f\circ X}\otimes P_S\right)
<\varepsilon\right)
\end{equation*}
Avec $C_{X_s,Y_s}$ la fonction de coût calculée sur les données synthétiques :
\begin{equation*}
C_{X_s,Y_s}(f) = E(l(f(X_s(\square)),Y_s(\square)))
\end{equation*}
\end{definition}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
\begin{theorem}
\label{th:per-fairgen}
Sous les hypothèses suivantes
$P_{f\circ X,S}$
$(4\gamma+\zeta)$-converge en entraînement vers
$P_{f\circ X}\otimes P_S$.
\end{theorem}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
\begin{hypothese}[Lien entre la fonction de coût et la distance entre les lois des données d'entrée et des étiquettes]
\label{hyp:per-synth-cost}
$(\Omega,\mathcal{T},P)$ est un espace probabilisé.
Soit $\mathcal{Q}$ en ensemble de mesures de probabilité sur $(\Omega,\mathcal{T})$ tel que toutes les mesures images de ce théorème soient dans cet ensemble.
Soit $d$ tel que $(\mathcal{Q},d)$ soit un espace métrique et vérifiant l'inégalité du traitement de données.
Il existe une fonction $\varphi$, continue, croissante, positive, telle que
\begin{equation}
\forall \delta>0,
\left(C_{X,Y}(f)<\delta\right)
\implies
\left(
d(P_{f\circ X},P_Y)<\varphi(\delta)
\right)
\end{equation}
\end{hypothese}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
\begin{hypothese}[Approximation des données synthétiques]
\label{hyp:per-synth-apprx}
\begin{align}
\label{eq:per-approx}
&d(P_{X_s},P_X)<\gamma\\
&d(P_{Y_s},P_Y)<\gamma\\
\label{eq:per-approx-s}
&d(P_{S_s},P_S)<\gamma
\end{align}
\end{hypothese}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Théorème convergence vers un modèle équitable}
\begin{hypothese}[Approximation de la parité démographique]
\label{hyp:per-synth-fair}
\begin{equation}
d(P_{Y_S,S_S},P_{Y_S}\otimes P_{S_S})<\zeta
\end{equation}
\end{hypothese}
\end{frame}
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